الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $6$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $- 3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

وسّع $(8 - λ) (2 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1.1

اضرب $8$ في $2$ .

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.2.2

اطرح $2 λ$ من $- 8 λ$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

خطوة 1.5.2.1.3

اضرب $- (- 3 \cdot 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.3.1

اضرب $- 3$ في $6$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - - 18$

خطوة 1.5.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $- 18$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 18$

خطوة 1.5.2.2

أضف $16$ و $18$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 34$

خطوة 1.5.2.3

أعِد ترتيب $- 10 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 34$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{2} - 10 λ + 34 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 10$ و $c = 34$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.1

ارفع $- 10$ إلى القوة $2$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $34$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.3

اطرح $136$ من $100$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.4

أعِد كتابة $- 36$ بالصيغة $- 1 (36)$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (36)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.7

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$λ = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.9

انقُل $6$ إلى يسار $i$ .

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

خطوة 1.7.3.3

بسّط $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ .

$λ = 5 \pm 3 i$

خطوة 1.7.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = 5 + 3 i, 5 - 3 i$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 + 3 i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $- 5 - 3 i$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 - 3 i) \cdot 1 & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.5

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

اضرب $- 5 - 3 i$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.5.2

اضرب $- 5 - 3 i$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.5.3

اضرب $- 5 - 3 i$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.5.4

اضرب $- 5 - 3 i$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & - 5 - 3 i \end{array}]$

خطوة 3.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 8 - 5 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

خطوة 3.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اطرح $5$ من $8$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

خطوة 3.2.3.2

أضف $6$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3

أضف $- 3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

خطوة 3.2.3.4

اطرح $5$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 - 3 i \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 5 + 3 i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - 3 i}{3 - 3 i} & \frac{6}{3 - 3 i} & \frac{0}{3 - 3 i} \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 - 3 i + 3 (1 + i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 + i) y = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - i y \\ y \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 - 3 i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 5 + 3 i$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 + 3 i) \cdot 1 & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.5

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1

اضرب $- 5 + 3 i$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.5.2

اضرب $- 5 + 3 i$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.5.3

اضرب $- 5 + 3 i$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.5.4

اضرب $- 5 + 3 i$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & - 5 + 3 i \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 8 - 5 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $5$ من $8$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

أضف $6$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

أضف $- 3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

اطرح $5$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 + 3 i \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = 5 - 3 i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + 3 i}{3 + 3 i} & \frac{6}{3 + 3 i} & \frac{0}{3 + 3 i} \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 i + 3 (1 - i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 - i) y = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y + i y \\ y \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$