إدخال مسألة...
الجبر الخطي الأمثلة
[86-32][86−32]
خطوة 1
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ)p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI2)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 2 هي المصفوفة المربعة 2×2 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[1001]
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI2).
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة A التي تساوي [86-32].
p(λ)=محدِّد([86-32]-λI2)
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I2 التي تساوي [1001].
p(λ)=محدِّد([86-32]-λ[1001])
p(λ)=محدِّد([86-32]-λ[1001])
خطوة 1.4
بسّط.
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ00λ-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ00-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ00-λ])
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ00-λ])
p(λ)=محدِّد([86-32]+[-λ00-λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[8-λ6+0-3+02-λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
خطوة 1.4.3.1
أضف 6 و0.
p(λ)=محدِّد[8-λ6-3+02-λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف -3 و0.
p(λ)=محدِّد[8-λ6-32-λ]
p(λ)=محدِّد[8-λ6-32-λ]
p(λ)=محدِّد[8-λ6-32-λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
خطوة 1.5.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(8-λ)(2-λ)-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.2.1.1
وسّع (8-λ)(2-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 1.5.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=8(2-λ)-λ(2-λ)-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=8⋅2+8(-λ)-λ(2-λ)-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=8⋅2+8(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-(-3⋅6)
p(λ)=8⋅2+8(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
خطوة 1.5.2.1.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.2.1.2.1.1
اضرب 8 في 2.
p(λ)=16+8(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.2.1.2
اضرب -1 في 8.
p(λ)=16-8λ-λ⋅2-λ(-λ)-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.2.1.3
اضرب 2 في -1.
p(λ)=16-8λ-2λ-λ(-λ)-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=16-8λ-2λ-1⋅-1λ⋅λ-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=16-8λ-2λ-1⋅-1(λ⋅λ)-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=16-8λ-2λ-1⋅-1λ2-(-3⋅6)
p(λ)=16-8λ-2λ-1⋅-1λ2-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=16-8λ-2λ+1λ2-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=16-8λ-2λ+λ2-(-3⋅6)
p(λ)=16-8λ-2λ+λ2-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.2.2
اطرح 2λ من -8λ.
p(λ)=16-10λ+λ2-(-3⋅6)
p(λ)=16-10λ+λ2-(-3⋅6)
خطوة 1.5.2.1.3
اضرب -(-3⋅6).
خطوة 1.5.2.1.3.1
اضرب -3 في 6.
p(λ)=16-10λ+λ2--18
خطوة 1.5.2.1.3.2
اضرب -1 في -18.
p(λ)=16-10λ+λ2+18
p(λ)=16-10λ+λ2+18
p(λ)=16-10λ+λ2+18
خطوة 1.5.2.2
أضف 16 و18.
p(λ)=-10λ+λ2+34
خطوة 1.5.2.3
أعِد ترتيب -10λ وλ2.
p(λ)=λ2-10λ+34
p(λ)=λ2-10λ+34
p(λ)=λ2-10λ+34
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
λ2-10λ+34=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.1
استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.
-b±√b2-4(ac)2a
خطوة 1.7.2
عوّض بقيم a=1 وb=-10 وc=34 في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة λ.
10±√(-10)2-4⋅(1⋅34)2⋅1
خطوة 1.7.3
بسّط.
خطوة 1.7.3.1
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 1.7.3.1.1
ارفع -10 إلى القوة 2.
λ=10±√100-4⋅1⋅342⋅1
خطوة 1.7.3.1.2
اضرب -4⋅1⋅34.
خطوة 1.7.3.1.2.1
اضرب -4 في 1.
λ=10±√100-4⋅342⋅1
خطوة 1.7.3.1.2.2
اضرب -4 في 34.
λ=10±√100-1362⋅1
λ=10±√100-1362⋅1
خطوة 1.7.3.1.3
اطرح 136 من 100.
λ=10±√-362⋅1
خطوة 1.7.3.1.4
أعِد كتابة -36 بالصيغة -1(36).
λ=10±√-1⋅362⋅1
خطوة 1.7.3.1.5
أعِد كتابة √-1(36) بالصيغة √-1⋅√36.
λ=10±√-1⋅√362⋅1
خطوة 1.7.3.1.6
أعِد كتابة √-1 بالصيغة i.
λ=10±i⋅√362⋅1
خطوة 1.7.3.1.7
أعِد كتابة 36 بالصيغة 62.
λ=10±i⋅√622⋅1
خطوة 1.7.3.1.8
أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.
λ=10±i⋅62⋅1
خطوة 1.7.3.1.9
انقُل 6 إلى يسار i.
λ=10±6i2⋅1
λ=10±6i2⋅1
خطوة 1.7.3.2
اضرب 2 في 1.
λ=10±6i2
خطوة 1.7.3.3
بسّط 10±6i2.
λ=5±3i
λ=5±3i
خطوة 1.7.4
الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.
λ=5+3i,5-3i
λ=5+3i,5-3i
λ=5+3i,5-3i
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
خطوة 3
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([86-32]-(5+3i)[1001])
خطوة 3.2
بسّط.
خطوة 3.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 3.2.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
[86-32]+(-1⋅5-(3i))[1001]
خطوة 3.2.1.2
اضرب -1 في 5.
[86-32]+(-5-(3i))[1001]
خطوة 3.2.1.3
اضرب 3 في -1.
[86-32]+(-5-3i)[1001]
خطوة 3.2.1.4
اضرب -5-3i في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[86-32]+[(-5-3i)⋅1(-5-3i)⋅0(-5-3i)⋅0(-5-3i)⋅1]
خطوة 3.2.1.5
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 3.2.1.5.1
اضرب -5-3i في 1.
[86-32]+[-5-3i(-5-3i)⋅0(-5-3i)⋅0(-5-3i)⋅1]
خطوة 3.2.1.5.2
اضرب -5-3i في 0.
[86-32]+[-5-3i0(-5-3i)⋅0(-5-3i)⋅1]
خطوة 3.2.1.5.3
اضرب -5-3i في 0.
[86-32]+[-5-3i00(-5-3i)⋅1]
خطوة 3.2.1.5.4
اضرب -5-3i في 1.
[86-32]+[-5-3i00-5-3i]
[86-32]+[-5-3i00-5-3i]
[86-32]+[-5-3i00-5-3i]
خطوة 3.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[8-5-3i6+0-3+02-5-3i]
خطوة 3.2.3
Simplify each element.
خطوة 3.2.3.1
اطرح 5 من 8.
[3-3i6+0-3+02-5-3i]
خطوة 3.2.3.2
أضف 6 و0.
[3-3i6-3+02-5-3i]
خطوة 3.2.3.3
أضف -3 و0.
[3-3i6-32-5-3i]
خطوة 3.2.3.4
اطرح 5 من 2.
[3-3i6-3-3-3i]
[3-3i6-3-3-3i]
[3-3i6-3-3-3i]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=5+3i.
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[3-3i60-3-3-3i0]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by 13-3i to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 13-3i to make the entry at 1,1 a 1.
[3-3i3-3i63-3i03-3i-3-3-3i0]
خطوة 3.3.2.1.2
بسّط R1.
[11+i0-3-3-3i0]
[11+i0-3-3-3i0]
خطوة 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2+3R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2+3R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[11+i0-3+3⋅1-3-3i+3(1+i)0+3⋅0]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R2.
[11+i0000]
[11+i0000]
[11+i0000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+(1+i)y=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[-y-iyy]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[11]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{y[11]|y∈R}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
خطوة 4
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([86-32]-(5-3i)[1001])
خطوة 4.2
بسّط.
خطوة 4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 4.2.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
[86-32]+(-1⋅5-(-3i))[1001]
خطوة 4.2.1.2
اضرب -1 في 5.
[86-32]+(-5-(-3i))[1001]
خطوة 4.2.1.3
اضرب -3 في -1.
[86-32]+(-5+3i)[1001]
خطوة 4.2.1.4
اضرب -5+3i في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[86-32]+[(-5+3i)⋅1(-5+3i)⋅0(-5+3i)⋅0(-5+3i)⋅1]
خطوة 4.2.1.5
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 4.2.1.5.1
اضرب -5+3i في 1.
[86-32]+[-5+3i(-5+3i)⋅0(-5+3i)⋅0(-5+3i)⋅1]
خطوة 4.2.1.5.2
اضرب -5+3i في 0.
[86-32]+[-5+3i0(-5+3i)⋅0(-5+3i)⋅1]
خطوة 4.2.1.5.3
اضرب -5+3i في 0.
[86-32]+[-5+3i00(-5+3i)⋅1]
خطوة 4.2.1.5.4
اضرب -5+3i في 1.
[86-32]+[-5+3i00-5+3i]
[86-32]+[-5+3i00-5+3i]
[86-32]+[-5+3i00-5+3i]
خطوة 4.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[8-5+3i6+0-3+02-5+3i]
خطوة 4.2.3
Simplify each element.
خطوة 4.2.3.1
اطرح 5 من 8.
[3+3i6+0-3+02-5+3i]
خطوة 4.2.3.2
أضف 6 و0.
[3+3i6-3+02-5+3i]
خطوة 4.2.3.3
أضف -3 و0.
[3+3i6-32-5+3i]
خطوة 4.2.3.4
اطرح 5 من 2.
[3+3i6-3-3+3i]
[3+3i6-3-3+3i]
[3+3i6-3-3+3i]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=5-3i.
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[3+3i60-3-3+3i0]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by 13+3i to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 13+3i to make the entry at 1,1 a 1.
[3+3i3+3i63+3i03+3i-3-3+3i0]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R1.
[11-i0-3-3+3i0]
[11-i0-3-3+3i0]
خطوة 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2+3R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2+3R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[11-i0-3+3⋅1-3+3i+3(1-i)0+3⋅0]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R2.
[11-i0000]
[11-i0000]
[11-i0000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+(1-i)y=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[-y+iyy]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[11]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{y[11]|y∈R}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
خطوة 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[11]}